Er is een fout opgetreden, probeer het later nog eens.

De NPO app

Download

Het Gouden Oog

Driehoeksmeting

19 mrt 2014 09:54

NTR • 4 min

Hoe Snellius in staat was om door middel van het meten van meerdere hoeken en slechts een afstand een gedetailleerde landkaart van Nederland te maken. Deze lesvideo werd gemaakt door Roeland Hiele (docent wiskunde aan de CSG De Goudse Waarden en winnaar van Het Gouden Oog 2013) en Florian Hiele, in het kader van Het Gouden Oog 2013.

Nederland was toonaangevend als het ging om de ontwikkeling van de gedetailleerde landkaarten. Al in 1600 beschikten wij over een zeer precieze kaart waarin de onderlinge afstand tussen steden heel erg nauwkeurig werden weergegeven. Bestemming bereikt. Van landkaarten maken we dagelijks nog dankbaar gebruik. Ja maar hoe weten we nou precies de afstand tussen Rotterdam en Hilversum? Ja dat is wel waar ja. We hebben nu wel een smartphone en daar kunnen we alles prima op vinden maar hoe deden ze dat een paar honderd jaar geleden? Toen er nog geen smartphones waren en geen satelliet? Vroeger zaten landkaarten vol onnauwkeurigheden. De hoogleraar Willibrord Snell van Roijen, beter bekend als Snellius, bracht daar verandering in. Hij bedacht een methode waarmee hij hoeken kon berekenen en zo een nauwkeurige landkaart kon ontwikkelen. Maar hoe deed hij dat precies? De methode die Snellius gebruikte was gebaseerd op driehoeken. Hierbij gebruikte hij een belangrijke regel uit de meetkunde. Namelijk de sinusregel. Wanneer we naar een willekeurige driehoek kijken. In deze driehoek noemen we zijde A, en tegenover zijde A hebben we hoek alfa. Op dezelfde manier hebben we een zijde B en de hoek die daar tegenover staat noemen we hoek bèta. Dan hebben we nog een zijde C en tegenover zijde C hebben we de hoek gamma. Dus de cosinus regel zegt dat hij in een bepaalde verhouding is. De verhouding is als volgt. Wanneer we gaan kijken naar zijde A in verhouding tot de sinus van hoek alfa, dan is deze precies gelijk aan de zijde B en de sinus van bèta. De tegenoverstaande hoek. Ook weer gelijk aan de laatste zijde C en de sinus van de overstaande hoek gamma. Wat heb je hier nou precies aan? Wanneer je bijvoorbeeld in dit geval zijde A hebt en de hoeken gamma en bèta dan staat eigenlijk de vorm van de driehoek vast. Met behulp van deze regel en je die 3 maten weet kun je uiteindelijk zijde B, de lengte van zijde B en de lengte van zijde C berekenen. Kortom de hele driehoek, de maten van de driehoek zijn dus bekend. We staan nu op het dak van een gebouw. Met de methode van Snellius kunnen we de afstand bepalen van dit punt naar de gele bus zonder het dak te verlaten. Daarvoor hebben we wel een tweede punt nodig. Met dit punt kunnen we een driehoek creëren waarmee we met behulp van de sinusregel de afstand tot de bus kunnen berekenen. De methode valt en staat met bij het nauwkeurig meten van lengte en hoeken. Hoe meet je nou precies hoeken nauwkeurig? We weten allemaal dat we met behulp van een geodriehoek hoeken nauwkeurig kunnen meten. Hoe deed Snellius het eigenlijk in die tijd? Hij liet een soort van geodriehoek maken. Een kwadrant. Een kwadrant was 2,20 m hoog. Hiermee kon hij hoeken tot in tienden van graden nauwkeurig meten. Dus wanneer we 1 afstand weten kunnen we door middel van het berekenen van hoeken eigenlijk alle onderlinge afstanden tussen steden in Nederland in kaart brengen. Hiermee waren we dus in staat de eerste nauwkeurige landkaart te maken. Maar waarom nou juist Nederland? Je wilt dus eigenlijk vanuit een stad de andere stad kunnen zien. Dat betekent dat wanneer je Nederland hebt, wat zo plat is als een dubbeltje, klim je in de lokale kerktoren of stadstoren en kun je dus heel eenvoudig de andere steden zien. Dat maakt Nederland eigenlijk tot een ideaal land en is het dus logisch dat deze methode ook in Nederland ontwikkeld is. Via Amsterdam naar huis? Dat is hartstikke om, via Utrecht is veel sneller. Zet anders je navigatie aan.

Het Gouden Oog >